Question

设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若＝8，求k的值．

Answer 1

解析：(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a²－c²＝b²，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)设点C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－6＝0.

由根与系数的关系可得x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

因为A(－，0)，B(，0)，所以

＝(x₁＋，y₁)·(－x₂，－y₂)＋(x₂＋，y₂)·(－x₁，－y₁)

＝6－2x₁x₂－2y₁y₂＝6－2x₁x₂－2k²(x₁＋1)(x₂＋1)

＝6－(2＋2k²)x₁x₂－2k²(x₁＋x₂)－2k²

＝6＋.

由已知得6＋＝8，解得k＝±.