Question

3．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（　　）

• A． $（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）≥4$
• B． a³+b³≥2ab
• C． a²+b²≥2a+2b
• D． $\sqrt{|{a-b}|}$≤$|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出．

解答 解：对于A：$（a+b）×（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}$$≥2+2\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}=4$，当且仅当a=b时取等号．故A对．
对于B：a³+b³=$（{a}^{\frac{3}{2}}）^{2}+（{b}^{\frac{3}{2}}）^{2}$≥$2\sqrt{（ab）^{\frac{3}{2}}}$=2${a}^{\frac{3}{4}}{b}^{\frac{3}{4}}$，当且仅当a=b时取等号．故B不对．
对于C：a²+b²-2a-2b=（a-1）²+（b-1）²-2，即a²+b²≥2a+2b-2，故C不对，
对于D：$（\sqrt{|a-b|}）^{2}=a-b$，$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}=a+b-2\sqrt{ab}$
那么：$（\sqrt{|a-b|}）^{2}-（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}$=a-b-a-b+2$\sqrt{ab}$=-2b+2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{b}（\sqrt{a}-\sqrt{b}）$≥0，∴D不对．
故选：A．

点评 利用基本不等式的性质，作差法讨论大小，考查推理能和计算能力．属于中档题．