Question

设函数f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=

3

2

，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=cos(2x+

π

3

)+1，从而可求最小正周期及值域；
（Ⅱ）由已知得cos(2A-

π

3

)=

1

2

，又A∈（0，π），得A=

π

3

，由余弦定理得a²=（b+c）²-3bc，又a=

3

，b+c=3，可解得bc=2，从而可求△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=cos2x-

3

sinxcosx+

1

2

=cos(2x+

π

3

)+1，…（3分）
所以f（x）的最小正周期为T=π，…（4分）
∵x∈R∴-1≤cos(2x+

π

3

)≤1，故f（x）的值域为[0，2]，…（6分）
（Ⅱ）由f(B+C)=cos[2(B+C)+

π

3

]+1=

3

2

，得cos(2A-

π

3

)=

1

2

，又A∈（0，π），得A=

π

3

，…（9分）
在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，又a=

3

，b+c=3，所以3=9-3bc，解得bc=2，…（12分）
所以，△ABC的面积S=

1

2

bcsin

π

3

=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

…（14分）

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．