Question

设函数f（x）=|x-a|+|x-1|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x使得f（x）≤3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当a=2，原不等式变为：|x-1|+|x-2|≤3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数

3

2

左侧的点与表示实数

1

2

右侧的点与表示实数1与2的点距离之和小于等于3得到不等式解集；
（2）直接利用绝对值的几何意义求得满足存在实数x使得f（x）≤3成立的实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=|x-1|+|x-2|，由f（x）≤3，得|x-1|+|x-2|≤3，
据绝对值几何意义求解，|x-1|+|x-2|≤3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，2表示的点距离之和小于等于3，
由于数轴上表示实数

3

2

左侧的点与表示实数

1

2

右侧的点与表示实数1与2的点距离之和小于等于3．
∴所求不等式解集为：[

1

2

，

3

2

]；
（2）由绝对值的几何意义知，数轴上若存在实数x表示的点到1的距离与到a的距离之和小于等于3，则1与a之间的距离必小于等于2，
即-2≤a≤4．
从而有a∈[-2，4]．

点评：本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查了绝对值的几何意义，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想，是中档题．