Question

已知关于x的函数f（x）=x²-2

b

x+a²，若点（a，b）是区域

x+y-2≤0 x＞0 y＞0

内任意一点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  1

  2

• C、

  7

  12

• D、

  5

  12

Answer 1

考点：简单线性规划,几何概型

专题：概率与统计

分析：根据条件求出函数有零点的取值范围，作出不等式组，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．

解答： 解：若函数f（x）在R上有零点，
则满足判别式△=4b-4a²≥0，即b＞a²，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则△OAC的面积S=

1

2

×2×2=2，
由

y=x2 x+y-2=0

，解得

x=1 y=1

，即B（1，1），
则阴影部分的面积S=

∫

1 0

(2-x-x2)dx=（2x-

1

2

x2-

1

3

x3）|

1 0

=2-

1

2

-

1

3

=

7

6

，
∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为

7 6

2

=

7

12

，
故选：C

点评：本题主要考查几何概型的概率计算，以及利用积分求区域面积，利用数形结合是解决本题的关键，本题涉及的知识点较多，综合性较强．