Question

18．已知点A（-2，0），P是⊙O：x²+y²=4上任意一点，P在x轴上的射影为Q，$\overrightarrow{QP}$=2$\overrightarrow{QG}$，动点G的轨迹为C，直线y=kx（k≠0）与轨迹交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．
（1）求轨迹C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设G（x，y），由题意得P（x，2y），把P点坐标代入已知圆的方程可得轨迹C的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求得E，F的坐标，得到直线AE与AF的方程，求出MN的中点坐标及|MN|，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过两定点P₁（1，0），P₂（-1，0）．

解答 解：（1）如图，设G（x，y），∴Q（x，0），
∵$\overrightarrow{QP}=2\overrightarrow{QG}$，∴P（x，2y），
∵P在⊙O：x²+y²=4上，∴x²+4y²=4．
∴轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）∵点A的坐标为（-2，0），直线y=kx（k≠0）与轨迹C交于两点E，F，
设点E（x₀，y₀）（不妨设x₀＞0），则点F（-x₀，-y₀）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得${x^2}=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$．
∴${x_0}=\frac{2}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}$，则${y_0}=\frac{2k}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}$．
∴直线AE的方程为$y=\frac{k}{{1+\sqrt{1+4{k^2}}}}（{x+2}）$．
∵直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，
令x=0，得$y=\frac{2k}{{1+\sqrt{1+4{k^2}}}}$，即点$M（{0，\frac{2k}{{1+\sqrt{1+4{k^2}}}}}）$． 
同理可得点$N（{0，\frac{2k}{{1-\sqrt{1+4{k^2}}}}}）$．
∴$|{MN}|=|{\frac{2k}{{1+\sqrt{1+4{k^2}}}}-\frac{2k}{{1-\sqrt{1+4{k^2}}}}}|=\frac{{\sqrt{1+4{k^2}}}}{|k|}$．
设MN的中点为P，则点P的坐标为$P（{0，-\frac{1}{2k}}）$．
则以MN为直径的圆的方程为${x^2}+{（{y+\frac{1}{2k}}）^2}$=${（{\frac{{\sqrt{1+4{k^2}}}}{2|k|}}）^2}$，
即${x^2}+{y^2}+\frac{1}{k}y=1$．
令y=0，得x²=1，即x=1或x=-1．
故以MN为直径的圆经过两定点P₁（1，0），P₂（-1，0）．

点评 本题考查利用待定系数法求曲线的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了恒过定点问题的求解方法，是中档题．