Question

14．已知：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）当n=5时，求a₀的值；
（2）求$\frac{1}{n}$a₁+$\frac{2}{n}$a₂+…+$\frac{n-1}{n}$a_n-1+$\frac{n}{n}$a_n（n≥2，n∈N）
（3）设b_n=$\frac{{a}_{2}}{{2}^{n-3}}$，T_n=b₂+b₃+b₄+…b_n，试用数学归纳法证明：当n≥2时，T_n=$\frac{n（n+1）（n-1）}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先把（x+1）ⁿ化为[（x-1）+2]ⁿ，使用二项式定理计算；
（2）利用二项式定理求出a_n，代入计算化简再逆用二项式定理得出答案；
（3）求出b_n，使用数学归纳法证明．

解答 解：（1）∵（x+1）ⁿ=[（x-1）+2]ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ．
∴a₀=${C}_{n}^{n}$•2ⁿ，
∴当n=5时，a₀=${C}_{5}^{5}$•2⁵=32．
（2）由（1）可知a₁=${C}_{n}^{n-1}•{2}^{n-1}$，a₂=${C}_{n}^{n-2}•{2}^{n-2}$，a₃=${C}_{n}^{n-3}•{2}^{n-3}$，…a_n=${C}_{n}^{0}•{2}^{0}$．
∴$\frac{1}{n}$a₁=2^n-1=${C}_{n-1}^{0}•{2}^{n-1}$，$\frac{2}{n}$a₂=（n-1）•2^n-2=${C}_{n-1}^{1}•{2}^{n-2}$，…，$\frac{n-1}{n}$a_n-1=（n-1）•2=${C}_{n-1}^{n-2}•2$，$\frac{n}{n}$a_n=1=${C}_{n-1}^{n-1}•{2}^{0}$．
∴$\frac{1}{n}$a₁+$\frac{2}{n}$a₂+…+$\frac{n-1}{n}$a_n-1+$\frac{n}{n}$a_n=${C}_{n-1}^{0}•{2}^{n-1}$+${C}_{n-1}^{1}•{2}^{n-2}$+…+${C}_{n-1}^{n-1}•{2}^{0}$=（2+1）^n-1=3^n-1．
（3））由（1）可知a₂=${C}_{n}^{n-2}$•2^n-2=C_n²•2^n-2=n（n-1）•2^n-3．
∴b_n=$\frac{{a}_{2}}{{2}^{n-3}}$=n（n-1）（n≥2）．
①当n=2时．左边=T₂=b₂=2，右边=$\frac{2×3×1}{3}=2$，
∴左边=右边，等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，等式成立，即T_k=$\frac{k（k+1）（k-1）}{3}$，
则当n=k+1时，T_k+1=T_k+b_k+1=$\frac{k（k+1）（k-1）}{3}$+（k+1）k=（k+1）k（$\frac{k-1}{3}+1$）=$\frac{（k+1）（k+2）k}{3}$=$\frac{（k+1）（k+1+1）（k+1-1）}{3}$．
∴左边=右边，等式成立．
故当n=k+1时，等式成立．
综上①②，当n≥2时，T_n=$\frac{n（n+1）（n-1）}{3}$．

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、二项式定理的应用，考查利用数学归纳法证明恒等式，属于中档题．