Question

13．在直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P是A₁C₁的中点，AB=BC=kPA，若直线PA与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为$\frac{1}{4}$，则k的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 延长AP交CC₁延长线于Q，易证AB⊥平面BCC₁B₁，AQ=2AP，故而sin∠AQB=$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{1}{4}$，从而解得k=$\frac{1}{2}$．

解答 解：延长AP，CC₁，设延长线交点为Q，连结QB．
∵P是A₁C₁的中点，AA₁∥CC₁，∴AQ=2AP．
∵BB₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥BB₁，又AB⊥BC，AB∩BC=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∴∠AQB为直线PA与平面BB₁C₁C所成的角．
∴sin∠AQB=$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{kPA}{2PA}=\frac{1}{4}$，
解得k=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了线面角的作法与计算，属于中档题．