Question

函数f（x）=sinx+cosx，在各项均为正数的数列{a_n}中对任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，则数列{a_n}的通项公式可以为（写一个你认为正确的）

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，其对称轴为：x+

π

4

=nπ-

π

2

，由各项均为正数的数列{a_n}中对任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，可知：x=a_n为其对称轴．

解答： 解：∵f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
其对称轴为：x+

π

4

=nπ-

π

2

，解得x=(n-

3

4

)π（n∈N^*）．
由各项均为正数的数列{a_n}中对任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，
∴a_n=(n-

3

4

)π（n∈N^*）．
故答案为：an=(n-

3

4

)π，（N^*）．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．