Question

10．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（Ⅱ）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先设切点坐标为（t，t³-3t），利用导数求出在x=t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³-3x，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故f（x）在[-2，-1）递增，在（-1，1]递减，
而f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，
∴f（x）的最小值是-2，
f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3，
设切点坐标为（t，t³-3t），
则切线方程为y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切线过点P（2，-6），∴-6-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化简得t³-3t²=0，∴t=0或t=3．
∴切线的方程：3x+y=0或24x-y-54=0．

点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．