Question

7．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（πx）（x∈[{-2，0}]）\\{3^{-x}}+1\;（x＞0）\end{array}\right.$，则y=f[f（x）]-4的零点为（　　）

• A． $-\frac{π}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{3}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 当x＞0时，y=f[f（x）]-4的零点即方程f[f（x）]-4=0的根，3^-f（x）+1=4；即可求得f（x）=-1，当x∈[-2，0]时，sin（-πx）=-1，即可求得x的值．

解答 解：y=f[f（x）]-4的零点即方程f[f（x）]-4=0的根，
故3^-f（x）+1=4；
解得：f（x）=-1，
当x∈[-2，0]时，
sin（πx）=-1，πx=-$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z）x=-$\frac{1}{2}$+2k，（k∈Z），
∴x=-$\frac{1}{2}$；
故选D．

点评 本题考查了分段函数的定义及函数的零点与方程的根的联系，属于基础题．