Question

20．对于两个复数$α=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，$β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，有下列四个结论：①αβ=1；②$\frac{α}{β}=1$；③$\frac{|α|}{|β|}=1$；④α³+β³=2，其中正确的结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 直接利用复数的乘法、除法、复数的模的除法、复数的乘方运算求出数值，判断结论的正误即可．

解答 解：∵两个复数$α=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，$β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
∴αβ=（-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$）（-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$）=$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$=1，∴①正确；
$\frac{α}{β}$=$\frac{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\frac{（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}}{（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，∴②不正确；
$\frac{|α|}{|β|}$=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i|}{|-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i|}=\frac{\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}{\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$=1，∴③正确；
∵$α=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，$β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，是1的立方虚根，∴α³+β³=2，∴④正确．
∴正确的结论的个数为：3．
故选：C．

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，命题的真假的判断，基本知识的考查，是基础题．