Question

如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求与平面成角的正弦值；

（Ⅲ）设点在线段上，且，平面，

求实数的值.

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为 底面，底面，

所以 ，                                 ………… 1分

又因为 ， ， 所以 平面，………… 2分

又因为 平面，    所以 .           ……… 3分

因为 是中点，所以 ，

又因为 ，所以 平面.   …………… 5分

（Ⅱ）解：在平面中，过点作

因为 平面，所以 平面，

由 底面，得，，两两垂直，

所以以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，则，，

，，，

设平面的法向量为，   因为 ，，

由  得      令，得.………… 7分

设与平面成角为，   因为 ，

所以 ，

即 .  …… 9分

（Ⅲ）解：因为 ，，     所以 ，

又因为 ，所以 . … 11分

因为 平面，平面的法向量，

所以 ，         解得 .             ……… 13分