Question

已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，a₃=6，S₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求前n项和S_n；
（3）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知列式求出数列{a_n}的首项和公差，代入通项公式得答案；
（2）直接由等差数列的前n项和得答案；
（3）由裂项相消法求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，然后放缩得到要证明的数列不等式．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}的公差是d，
依题意得

a1+2d=6 3a1+ 3×2 2 d=12.

解得

a1=2 d=2.

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）解：∵a_n=2n，
∴S_n=

n(a1+an)

2

=

n(2+2n)

2

=n（n+1）；
（3）证明：∵

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．