Question

边长分别为1，

5

，2

2

的三角形的最大角与最小角的和是（　　）

• A、90°
• B、120°
• C、135°
• D、150°

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：解法一：由条件利用余弦定理求得cosα、cosβ的值，可得sinα、sinβ的值，再利用两角和余弦公式求得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 的值，可得最大角与最小角的和．
解法二：由题意可得，边长为

5

的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为θ，则由余弦定理可得cosθ 的值，则180°-θ即为所求．

解答： 解：解法一：由题意可得，边长为1的边对的角最小为α，边长2

2

对的角最大为β，
由余弦定理可得cosα=

5+8-1

20 2

=

12

4 10

=

3

10

，cosβ=

1+5-8

2 5

=-

1

5

，
∴sinα=

1

10

，sinβ=

2

5

，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

3

50

-

2

50

=-

2

2

，
∴α+β=135°，
故选：C．
解法二：由题意可得，边长为

5

的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为θ，
则由余弦定理可得cosθ=

1+8-5

4 2

=

2

2

，∴θ=45°，
故三角形的最大角与最小角的和是180°-45°=135°，
故选：C．

点评：本题主要考查余弦定理、两角和余弦公式应用，属于基础题．