Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求三棱锥H-BDF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由菱形性质得AC⊥BD，由面面垂直和矩形性质得ED⊥平面ABCD，从而ED⊥AC．由此能证明AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）取BC得中点P，连接DP．由V_H-BDF=V_D-BFH，利用等积法能求出三棱锥H-BDF的体积．

解答： （Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，
所以 ED⊥平面ABCD，…（3分）
又因为AC?平面ABCD，
所以ED⊥AC．
因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．…（5分）
（Ⅱ）解：取BC得中点P，连接DP．
因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
所以△DBC为等边三角形，所以DP⊥BC，
且DP=

3

2

BC=

3

．…（7分）
又由（1）知FB⊥平面ABCD且DP?平面ABCD，
所以DP⊥FB，又FB∩BC=B，
所以DP⊥平面FBC，S△BFH=

1

2

S△BFC=

1

2

×

1

2

×BC×BF=

3

2

，…（10分）
所以VH-BDF=VD-BFH=

1

3

×S△BFH×DP=

1

3

×

3

2

×

3

=

3

2

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．