Question

已知函数f（x）是R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（2-x）．
（1）用定义证明：F（x）=f（x）-f（2-x）是R上的增函数；
（2）证明：如果x₁+x₂＞2，则F（x₁）+F（x₂）＞0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）任取x₁＞x₂，则2-x₂＞2-x₁，将F（x₁）-F（x₂）整理合并，并运用已知的单调性，即可得证；
（2）由x₁+x₂＞2，得x₁＞2-x₂，且x₂＞2-x₁，再运用f（x）的单调性，由累加法即可得证．

解答： （1）证明：任取x₁＞x₂，则2-x₂＞2-x₁，
F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-f（2-x₁）-[f（x₂）-f（2-x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]
∵x₁＞x₂，又∵f（x）是增函数，∴f（x₁）＞f（x₂），
且f（2-x₂）＞f（2-x₁），∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），故F（x）=f（x）-f（2-x）是增函数．    
（2）证明：由x₁+x₂＞2，得x₁＞2-x₂，且x₂＞2-x₁，
又∵f（x）是增函数，∴f（x₁）＞f（2-x₂），f（x₂）＞f（2-x₁），
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（2-x₁）+f（2-x₂）
∴[f（x₁）-f（2-x₁）]+[f（x₂）-f（2-x₂）]＞0，即F（x₁）+F（x₂）＞0．

点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运用函数的单调性定义证明不等式，注意定义域，化简与合并，重要的变形是迅速解题的关键．