Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

3

2

），且离心率e=

3

2

，M（m，n）是椭圆C上的动点，直线l的方程为mx+nx=1
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与圆x²+y²=b²相交于A，B两点，求|AB|的最大值；
（3）求出与直线l恒相切的定椭圆C′的方程．探究：若M（m，n）是曲线E：Ax²+By²=1（AB≠0）上的动点，是否仍存在与直线l：mx+ny=1恒相切的定曲线E′？若存在，直接写出定曲线E′的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2

，能求出椭圆C的方程．
（2）圆心O到直线l的距离为d=

1

m2+n2

＜1，M（m，n）在椭圆C上，由此能求出当m=±2时，|AB|取最大值

3

．
（3）取m=0，n=1，直线l的方程为y=1，取n=0，m=2时，直线l的方程为x=

1

2

，根据椭圆的对称性，猜想椭圆C′：4x²+y²=1与直线l恒相切，由此得推导出存在，若点M（m，n）为曲线E：Ax²+By²=1（AB≠0）上的动点，
则与直线l：mx+ny=1恒相切的定曲线E′的方程为

x2

A

+

y2

B

=1（AB≠0）．

解答： 解：（1）由已知得

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程

x2

4

+y2=1．
（2）∵直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于A，B两点，
则圆心O到直线l的距离为d=

1

m2+n2

＜1，
M（m，n）在椭圆C上，
∴

m2

4

+n2=1＜m2+n2，得0＜m²≤4，
又|AB|=2

1-a2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 4 3m2+4

≤

3

，
当且仅当m²=4，即m=±2时，|AB|取最大值

3

．
（3）取m=0，n=1，直线l的方程为y=1，
取n=0，m=2时，直线l的方程为x=

1

2

，
根据椭圆的对称性，猜想椭圆C′：4x²+y²=1与直线l恒相切．
理由如下：
①当n≠0时，由

4x2+y2=1 y= 1-mx n

，消去y，得（m²+4n²）x²-2mx+1-n²=0，
△=（-2m）²-4（m²+4n²）（1-n²）=4n²（m²+n²-4），
∵M（m，n）是椭圆

x2

4

+y2=1上的点，∴

m2

4

+n2=1，即m²+4n²=4，
∴△=4n²（m²+n²-4）=0恒成立，
∴椭圆C′：4x²+y²=1与直线l恒相切．
②当n=0时，m=±2，此时直线l的方程为x=

1

2

或x=-

1

2

，
与椭圆4x²+y²=1相切．
综上①②，得存在椭圆C′：4x²+y²=1与直线l恒相切．
存在，若点M（m，n）为曲线E：Ax²+By²=1（AB≠0）上的动点，
则与直线l：mx+ny=1恒相切的定曲线E′的方程为

x2

A

+

y2

B

=1（AB≠0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最大值的求法，考查定曲线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．