Question

7．若0＜x＜1，则$\frac{sinx}{x}，{（\frac{sinx}{x}）^2}$与$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$的大小关系为（　　）

• A． ${（\frac{sinx}{x}）^2}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜\frac{sinx}{x}$
• B． $\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜\frac{sinx}{x}＜{（\frac{sinx}{x}）^2}$
• C． ${（\frac{sinx}{x}）^2}＜\frac{sinx}{x}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$
• D． $\frac{sinx}{x}＜\frac{{sin{x^2}}}{x^2}＜{（\frac{sinx}{x}）^2}$

Answer 1

分析 先构造函数f（x）=x-sinx，根据导数判断sinx＜x，再构造函数g（x）=$\frac{sinx}{x}$，根据导数求出函数的单调性，再利用单调性即可判断．

解答 解：令f（x）=x-sinx，0＜x＜1．
∴f′（x）=1-cosx＞0，
函数f（x）单调递增．
∴f（x）＞f（0）=0，
∴当x∈（0，1）时，
∴sinx＜x
再g（x）=$\frac{sinx}{x}$，
则g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{x-tanx}{{x}^{2}}}{cosx}$，
∵0＜x＜1＜$\frac{π}{2}$＜tanx
∴g′（x）＜0，
故函数g（x）单调递减，
∴$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$＜$\frac{sinx}{x}$＜$\frac{{sin{x^2}}}{x^2}$，
故选：C

点评 本题考查导数和函数的单调性关系，以及比较大小的方法，关键时构造函数，属于中档题．