Question

18．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，PA=AD，且M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥平面PCD；
（3）若PA=2，AB=4，求三棱锥B-PMC的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点E，连结AE，NE．推导出四边形AMNE是平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAD．
（2）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥CD，由CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，推导出AE⊥PD，MN∥AE，由此能证明MN⊥平面PDC．
（3）V_{三棱锥B-PMC}=V_{三棱锥P-MBC}，能求出三棱锥B-PMC的体积．

解答 证明：（1）取PD的中点E，连结AE，NE．
因为N是PC的中点，所以EN∥DC，且$EN=\frac{1}{2}DC$．
在矩形ABCD中，AB∥DC，
又M是AB的中点，所以AM∥DC，且$AM=\frac{1}{2}DC$．
所以AM=∥EN，
所以四边形AMNE是平行四边形，…（2分）
所以MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD．  …（4分）
（2）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD．在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE．…（6分）
在△PAD中，PA=AD，E是PD的中点，所以AE⊥PD，
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PDC．…（8分）
因为MN∥AE，所以MN⊥平面PDC．…（10分）
解：（3）因为${S_{△MBC}}=\frac{1}{2}MB•BC=\frac{1}{2}×2×2=2$，
PA⊥平面ABCD，
所以${V_{三棱锥P-MBC}}=\frac{1}{3}•{S_{△MBC}}•PA=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$，…（12分）
所以三棱锥B-PMC的体积${V_{三棱锥B-PMC}}={V_{三棱锥P-MBC}}=\frac{4}{3}$．…（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．