Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=e an-a_n-1，求证：0＜a_n+1＜a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法即可证明．

解答： 证明：利用数学归纳法证明：a_n+1＜a_n．
（1）当n=1时，a2=ea1-a1-1=e-1-1＜1=a₁，因此n=1时成立．
（2）假设当n=k≥1时，a_k+1＜a_k成立．
则a_k+2=eak+1-a_k+1-1=eak+1-（eak-a_k+1-1）-1=eak+1-eak+a_k+1＜a_k+1，
因此当n=k+1时，命题也成立．
综上（1）（2）可得：?n∈N^*，a_n+1＜a_n都成立．
同理利用数学归纳法可以证明a_n+1＞0．
∴0＜a_n+1＜a_n．

点评：本题考查了利用数学归纳法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．