Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）=

xeax，0＜x＜1 2x+1，x≥1

，（其中e为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）在x=1处连续，求实数a的值；
（2）设数列{a_n}的各项均大于1，且a_n+1=f（2a_n-1）-1，a₁=m，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）通过函数f（x）在x=1处连续，得到方程，即可求实数a的值；
（2）设数列{a_n}的各项均大于1，利用a_n+1=f（2a_n-1）-1，a₁=m，推出数列 { a_n-

2

3

}是以a₁-

2

3

=m-

2

3

为首项，4为公比的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵函数f （x） 在x=1处连续，f（1）=2×1+1=3，
∴

lim

x→x-1

f(x)=ea=

lim

x→1

f(x)，3=e^a，∴a=ln 3． …（5分）
（2）∵对任意n有a_n＞1，∴f （2a_n-1）=2 （2a_n-1）+1=4a_n-1，
于是a_n+1=f（2a_n-1）-1=（4a_n-1）-1=4a_n-2，
∴a_n+1-

2

3

=4（a_n-

2

3

），表明数列 { a_n-

2

3

}是以a₁-

2

3

=m-

2

3

为首项，4为公比的等比数列，
于是 a_n-

2

3

=（m-

2

3

）•4^n-1，
从而a_n=（m-

2

3

）•4^n-1+

2

3

． …（12分）

点评：本题考查数列与函数相结合，递推关系式的应用，函数的连续性的应用，考查分析问题与解决问题的能力．