Question

已知关于x的函数f_n（x）=cosⁿx+cosⁿ（x+

2π

3

）+cosⁿ（x+

4π

3

），其中n∈N^*．
（1）求f_n（0）和f_n（

π

2

）；
（2）求证：对任意x∈R，f₂（x）为定值；
（3）对任意x∈R，是否存在最大的正整数n，使得函数y=f_n（x）为定值？若存在，求出n的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据条件直接求f_n（0）和f_n（

π

2

）；
（2）根据三角函数关系式进行化简即可证明对任意x∈R，f₂（x）为定值；
（3）根据三角函数的关系式进行化简，即可得到结论．

解答： 解：（1）fn(0)=1+2(-

1

2

)n，fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n．
（2）对任意x∈Rf1(x)=cosx+cos(x+

2π

3

)+cos(x+

4π

3

)=cosx-

1

2

cosx-

3

2

sinx-

1

2

cosx+

3

2

sinx=0
又cos2x=

1

2

(1+cos2x)，故f2(x)=

1

2

(3+f1(2x))=

3

2

．
（3）由于cos4x=

1

4

(1+2cos2x+cos22x)
故f4(x)=

1

4

(3+2f1(2x)+f2(2x))=

9

8

，即n=4时，y=f_n（x）为定值．
当n为奇数，且n≥3时，由（1）得：fn(0)=1+2(-

1

2

)n=1-

1

2n-1

＞0，而fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n=0，即fn(0)≠fn(

π

2

)．故y=f_n（x）不可能为定值．
当n为偶数，且n≥6时，由（1）得：fn(0)=1+2(-

1

2

)n=1+

1

2n-1

＞1．而(

3

2

)n关于n单调递减，
故fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n=2(

3

2

)n≤2(

3

2

)6=

27

32

＜1．即fn(0)≠fn(

π

2

)，故y=f_n（x）不可能为定值．
综上，存在最大的正整数n=4，使得对任意的x∈R，y=f_n（x）为定值．

点评：本题主要考查三角函数式恒等变化，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．