Question

下列四个命题中，真命题的个数有（　　）
①若a，b，c∈R，则“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分必要条件；
②命题“?x∈R使得x²+x+1＞0的否定是“?x∈R均有x²+x+1≤0”；
③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|＜2，则-2＜x＜2”；
④函数f（x）=lnx+x-

3

2

在区间（1，2）上有且仅有一个零点．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，利用充分必要条件的概念，通过正确推理与举反例可判断①；
②，写出命题“?x∈R使得x²+x+1＞0的否定为全称命题“?x∈R均有x²+x+1≤0”，可判断②；
③，写出命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤-2”的否命题“若|x|＜2，则-2＜x＜2”，可判断③；
④，易求f′（x）=）=

1

x

+1＞1＞0，且f（1）＜0，f（2）＞0，利用零点存在定理，可判断④．

解答： 解：对于①，若a，b，c∈R，则ac²＞bc²⇒a＞b，充分性成立；
反之，若a＞b，则ac²＞bc²不成立，如c=0时，ac²=bc²=0，即必要性不成立，故“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要条件，故①错误；
对于②，命题“?x∈R使得x²+x+1＞0”的否定是“?x∈R均有x²+x+1≤0”，故②正确；
对于③，命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤-2”的否命题是对原命题的条件否定后作条件，结论否定后作结论，即“若|x|＜2，则-2＜x＜2”，故③正确；
对于④，因为函数f（x）=lnx+x-

3

2

（x＞0）的导数f′（x）=

1

x

+1＞1＞0，
所以f（x）=lnx+x-

3

2

在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）=ln1+1-

3

2

=-

1

2

＜0，f（2）=ln2+2-

3

2

=ln2+

1

2

＞0，
由零点存在定理知，f（x）=lnx+x-

3

2

在区间（1，2）上有且仅有一个零点，故④正确．
综上所述，四个命题中，真命题的个数有3个，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查充分必要条件、全称命题与特称命题之间的关系及真假判断，考查四种命题及零点存在定理的应用，属于中档题．