在直角坐标系中.以原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ.直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$.l与C分别交于M.N.P．(1)写出C的平面直角坐标系� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），l与C分别交于M，N，P（-2，-4）．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）已知|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

分析（1）曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x-2．
（2）点P（-2，-4）在直线l上，可得直线l的标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，代入抛物线方程可得：m²-$（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）$m+4a+32=0，|PM|=m₁，|PN|=m₂，|MN|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，可得|MN|²=|PM|•|PN|，即可得出．

解答解：（1）曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），可得直角坐标方程：y²=2ax（a＞0）．

直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=x-2．
（2）点P（-2，-4）在直线l上，可得直线l的标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，代入抛物线方程可得：m²-$（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）$m+4a+32=0，
△=$（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）^{2}$-4（4a+32）=2a²+16a＞0，（a＞0）．
∴m₁+m₂=$8\sqrt{2}+\sqrt{2}a$，m₁m₂=4a+32．
|PM|=m₁，|PN|=m₂，|MN|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）^{2}-4（4a+32）}$=$\sqrt{2{a}^{2}+16a}$．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|MN|²=|PM|•|PN|，
∴2a²+16a=m₁m₂=4a+32，化为：a²+6a-16=0，a＞0，
解得a=2．