Question

3．在直角坐标系xOy中，直线l：x-y=1，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ²+ρ²sin²θ-2=0，直线l与曲线C相交于P、Q两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）把极坐标方程根据极坐标与直角坐标的互化公式，化为直角坐标方程．
（2）解方程组求得P、Q的坐标，利用点到直线的距离公式求得点O到直线PQ的距离d，可得△OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$•PQ•d的值．

解答 解：（1）曲线C：ρ²+ρ²sin²θ-2=0化为直角坐标方程为x²+2y²-2=0，即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，表示一个椭圆．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 求得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，故可设P（0，-1）、Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
故点O到直线PQ：x-y-1=0的距离为d=$\frac{|0-0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
△OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$•PQ•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{2}}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．