Question

已知f（x）=x+

a

x

（a＞0）．（两种方法解答）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求f（x）的定义域，知道定义域关于原点对称，然后容易求得f（-x）=-f（x），所以得到函数f（x）为奇函数；
（2）可以用两种方法讨论f（x）的单调性：第一种方法，可以用导数法，求f′（x），通过解f′（x）≥0，f′（x）＜0即可得到f（x）的单调区间，即判断出f（x）的单调性；第二种方法，用单调性的定义，在定义域上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁），f（x₂）的大小，从而得出f（x）的单调区间，从而判断出f（x）的单调性．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}；
f（-x）=-x-

a

x

=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（2）方法（一）：
f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

；
∴x∈[-

a

，0)或(0，

a

]时，f′（x）≤0，∴f（x）在[-

a

，0)，(0，

a

]上单调递减；
x∈(-∞，-

a

)，或(

a

，+∞)时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-

a

），(

a

，+∞)上单调递增；
方法（二）：
设x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-a)；
∴①x1，x2∈[-

a

，0)，或(0，

a

]时，x₁x₂-a≤0，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[-

a

，0)，(0，

a

]上单调递减；
②x1，x2∈(-∞，-

a

)，或(

a

，+∞)时，x₁x₂-a＞0，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）上单调递增．

点评：考查奇函数的定义，以及判断一个函数奇偶性的过程，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及单调性的定义及利用定义判断函数的单调性的过程．