Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x+sin²x-

3

2

．
（Ⅰ） 求函数f（x）在[0，

π

2

]的值域；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共线，求a、b的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,平行向量与共线向量,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x-

π

6

）-1．根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．
（Ⅱ）△ABC中，由f（C）=0求得sin（2C-

π

6

）=1，可得C=

π

3

．由向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共线，可得sinB=2sinA．根据A+B=

2π

3

，可得B=

π

2

，A=

π

6

，再根据c=

3

利用正弦定理求得 a和b的值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

3

2

sin2x+sin²x-

3

2

=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

-

3

2

=sin（2x-

π

6

）-1．
∵x∈[0，

π

2

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]，
∴sin（2x-

π

6

）-1∈[-

3

2

，

3 -1

2

]，即函数f（x）的值域为[-

1

2

，

3

2

]．
（Ⅱ）△ABC中，∵f（C）=0=sin（2C-

π

6

）-1，∴sin（2C-

π

6

）=1，2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
由向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共线，可得sinB-2sinA=0，sinB=2sinA．
再根据A+B=

2π

3

，可得sin（

2π

3

-A）=2sinA，化简得tanA=

3

3

，∴A=

π

6

，故 B=

π

2

．
再根据c=

3

利用正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，即

a

1 2

=

b

1

=2，∴a=1，b=2．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量共线的性质，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于基础题．