Question

2．已知命题p：f（x）=x+$\frac{a}{x}$在区间[1，+∞）上是增函数；命题q：f（x）=x³+ax²+3x+1在R上有极值．若命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$．由f（x）=x+$\frac{a}{x}$在区间[1，+∞）上是增函数，可得f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即可得出a的取值范围．命题p：A={a|a≤1}．命题q：f′（x）=3x²+2ax+3．要使得f（x）=x³+ax²+3x+1在R上有极值，则f′（x）=3x²+2ax+3=0有两个不相等的实数解，可得△＞0．由命题“p∨q”为真命题，可得p与q都为真命题．

解答 解：命题p：f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$．∵f（x）=x+$\frac{a}{x}$在区间[1，+∞）上是增函数，
则f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤（x²）_min，∴a≤1．
命题p：A={a|a≤1}．命题q：f′（x）=3x²+2ax+3．
要使得f（x）=x³+ax²+3x+1在R上有极值，
则f′（x）=3x²+2ax+3=0有两个不相等的实数解，
△=4a²-4×3×3＞0，解得a＜-3或a＞3．
命题q：B={a|a＜-3，或a＞3}．
∵命题“p∨q”为真命题，∴A∪B={a|a≤1，或a＞3}．
∴所求实数a的取值范围为（-∞，1]∪（3，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．