Question

4．（1）计算：${i^{2010}}+{（\sqrt{2}+\sqrt{2}i）^2}-{（{\frac{{\sqrt{2}}}{1-i}}）^4}$
（2）已知函数f（x）满足$f（x）=f'（1）{e^{x-1}}-f（0）x+\frac{1}{2}{x^2}$；求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）i²=-1，可得i²⁰¹⁰=（-1）¹⁰⁰⁵=-1.$（\sqrt{2}+\sqrt{2}i）^{2}$=2×2i，$（\frac{\sqrt{2}}{1-i}）^{4}$=$（\frac{\sqrt{2}（1+i）}{（1-i）（1+i）}）^{4}$=-1．代入即可得出．
（2）由$f（x）=f'（1）{e^{x-1}}-f（0）x+\frac{1}{2}{x^2}$，可得f（0）=$\frac{1}{e}$f′（1）．又f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，可得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解出即可得出．

解答 解：（1）∵i²=-1，
∴i²⁰¹⁰=（-1）¹⁰⁰⁵=-1．
$（\sqrt{2}+\sqrt{2}i）^{2}$=2×2i=4i，
$（\frac{\sqrt{2}}{1-i}）^{4}$=$（\frac{\sqrt{2}（1+i）}{（1-i）（1+i）}）^{4}$=$\frac{4×（2i）^{2}}{{2}^{4}}$=-1．
原式=-1+4i-2=-1+4i．
（2）∵$f（x）=f'（1）{e^{x-1}}-f（0）x+\frac{1}{2}{x^2}$，
∴f（0）=$\frac{1}{e}$f′（1）．
又f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
∴f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
解得f（0）=1，
∴f′（1）=e．
∴f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$．

点评 本题考查了导数的运算法则、复数的原式法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．