有下列四个说法:①若函数f的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称.则a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,②已知向量$\overrightarrow{a}$=(1.2).$\overrightarrow{b}$=.若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角.则m＜1,③当$\frac{5π}{2}$＜α� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．有下列四个说法：
①若函数f（x）=asinx+cosx（x∈R）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，则a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，m），若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则m＜1；
③当$\frac{5π}{2}$＜α＜$\frac{9π}{2}$时，函数f（x）=sinx-log_ax有三个零点；
④函数f（x）=xsinx在[-$\frac{π}{2}$，0]上单调递减，在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增．
其中正确的是①④（填上所有正确说法的序号）

分析对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答解：①函数f（x）=asinx+cosx=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{1}{a}$，∵其图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，∴θ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴θ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，∴tanθ=tan（kπ+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{a}$，∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，正确；
②已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，m），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则$\left\{\begin{array}{l}{-2+2m＜0}\\{m+4≠0}\end{array}\right.$，∴m＜1且m≠-4，不正确；
③当$\frac{5π}{2}$＜α＜$\frac{9π}{2}$时，a可以是负数，故函数f（x）=sinx-log_ax有三个零点不正确；
④f′（x）=sinx+cosx•x，f′（0）=0，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，故正确．
故答案为：①④．

点评本题考查的是命题的真假判断与应用，综合考查三角函数的图象的对称性，向量知识，考查利用导数确定函数的单调性，知识综合性强．

	A．	若\|$\overrightarrow{a}$\|=\|$\overrightarrow{b}$\|且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是共线向量，则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$		B．	若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$
	C．	若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$都是单位向量，则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$		D．	零向量的长度为0

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