Question

16．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{2}{x}$+a，a∈R，若方程f（x）=1有且只有三个不同的实数根，且三个根成等差数列，则满足条件的实数a有（　　）个．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据函数与方程之间的关系，将条件转化为|x-a|+a=$\frac{2}{x}$+1，构造函数h（x），利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）=1得|x-a|-$\frac{2}{x}$+a=1，即|x-a|+a=$\frac{2}{x}$+1，
设h（x）=|x-a|+a，g（x）=$\frac{2}{x}$+1，
h（x）=|x-a|+a的顶点（a，a）在y=x上，而y=x与g（x）的交点坐标为（2，2），（-1，-1），
∴当a≤-1时，f（x）=1有明显的两个根-1和2，第3个根应为-4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{1}{2}=-（x+4）}\\{y=x}\end{array}\right.$，得a=-$\frac{7}{4}$，
∴当-1＜a≤2时，f（x）=1有明显的根2，设另外两个根为2-d，2-2d，
则点A（2-d，$\frac{2}{2-d}$+1），B（2-2d，$\frac{2}{2-2d}$+1）连线斜率k=-1，
得d=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
则得AB的方程为：y-$\sqrt{5}$=-（x-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），与y=x联立得a=$\frac{3\sqrt{5}+1}{4}$，
∴a＞2时，方程只有一根f（x）=1，不满足条件．
综上满足条件的实数a有2个，
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法和数形结合法，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．