Question

13．在数列{a_n}中，满足点P（a_n，a_n+1）是函数f（x）=3x图象上的点，且a₁=3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过将点P（a_n，a_n+1）代入函数方程f（x）=3x化简可知a_n+1=3a_n，进而可知数列{a_n}是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n3ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵点P（a_n，a_n+1）是函数f（x）=3x图象上的点，
∴a_n+1=3a_n，
又∵a₁=3，
∴数列{a_n}是首项为3、公比为3的等比数列，
∴其通项公式a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=na_n=n3ⁿ，
∴S_n=1×3+2×3²+…+n3ⁿ，
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
错位相减得：-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=3×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n×3ⁿ⁺¹
=$\frac{1-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$×3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．