Question

19．已知a为常数，若曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．

解答 解：令y=f（x）=ax²+3x-lnx
由题意知，x+y-1=0斜率是-1，
则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1．
∴f′（x）=1有解，
∵函数的定义域为{x|x＞0}．
∴f′（x）=1有正根，
∵f（x）=ax²+3x-lnx，
∴f'（x）=2ax+3-$\frac{1}{x}$=1有正根
∴2ax²+2x-1=0有正根，
∴2a=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
∴2a≥-1，
∴a≥-$\frac{1}{2}$．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．