Question

已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）•（x-3a）＜0}．
（1）若A?B，求a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围；
（3）若A∩B={x|3＜x＜4}，求a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,集合的包含关系判断及应用,交集及其运算

专题：计算题

分析：利用不等式求出集合A，（1）通过A?B，列出不等式组，即可求a的取值范围；
（2）通过A∩B=∅，利用a的范围，列出不等式，即可求a的取值范围；
（3）借助A∩B={x|3＜x＜4}，列出不等式即可求a的取值范围．

解答： 解：∵A={x|x²-6x+8＜0}，
∴A={x|2＜x＜4}．
（1）当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，应满足

a≤2 3a≥4

⇒

4

3

≤a≤2，
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，应满足

3a≤2 a≥4

⇒a∈∅．
∴

4

3

≤a≤2时，A?B．
（2）要满足A∩B=∅，
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，a≥4或3a≤2，
∴0＜a≤

2

3

或a≥4．
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥

4

3

．
∴a＜0时成立．验证知当a=0时也成立．
综上所述，a≤

2

3

或a≥4时，A∩B=∅．
（3）要满足A∩B={x|3＜x＜4}，显然a＞0且a=3时成立，
此时B={x|3＜x＜9}，
而A∩B={x|3＜x＜4}，
故所求a的值为3．

点评：本题考查转化思想的应用，不等式组的解法，分类讨论思想的应用，集合的包含关系以及子集关系的应用．考查计算能力．