Question

设数列{a_n}满足条件：对于n∈N^*，a_n＞0，且a₁=1并有关系式：a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）求证数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1），记cn=

1

bn+2bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，易证数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2ⁿ-1，从而可得b_n=n，b_n+2=n+2，于是c_n=

1

2n+n2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），继而可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 证明：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），又a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项为：a_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）∵b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴b_n+2=n+2，
故c_n=

1

2n+n2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=C₁+C₂+C₃+C₄+…+C_n-1+C_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3n2+9n+4

4n2+12n+8

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定及等比数列的通项公式的应用，突出裂项法求和，属于中档题．