Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f(1)=

1

2

，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f(2(log2x)2-4)+f(4m-2(log2x))＞0对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数奇偶性的判断,抽象函数及其应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）在给出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=-x可证明f（x）是奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，借助于已知等式证明函数f（x）为增函数，从而求出函数在给定区间上的最值；
（3）由奇偶性把给出的不等式变形，然后利用单调性去掉“f”，换元后利用分离变量法求m的取值范围．

解答： 解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且x₁＜x₂，
∴f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）为增函数，
∴当x=-2时，函数有最小值，f（x）_min=f（-2）=f（2）=2f（1）=1．
当x=6时，函数有最大值，f（x）_max=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函数 f（x）为奇函数，
∴不等式f(2(log2x)2-4)+f(4m-2(log2x))＞0可化为f(2(log2x)2-4)＞f(2log2x-4m)，
又∵f（x）为增函数，∴2(log2x)2-4＞2log2x-4m，
令t=log₂x，则0≤t≤1，
问题就转化为2t²-4＞2t-4m在t∈[0，1]上恒成立，
即4m＞-2t²+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，
令y=-2t²+2t+4，只需4m＞y_max，
而y=-2t2+2t+4=-2(t-

1

2

)2+

9

2

 （0≤t≤1），
∴当t=

1

2

时，ymax=

9

2

，则4m＞

9

2

．
∴m的取值范围就为m＞

9

8

．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了函数奇偶性及单调性的判断，该类问题常采用取特值的办法，关键在于灵活变化，训练了分离变量法及配方法求变量的范围，是中档题．