Question

已知函数f（x）=xe^-2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称．求证：当x＞

1

2

时，f（x）＞h（x）．
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂＞1．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数在某点取得极值的条件

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-h（x），证明函数F（x）在（

1

2

，+∞）上是增函数，即可证得结论；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数在（-∞，

1

2

）上是增函数，在（

1

2

，+∞）上是减函数，f（x₁）=f（x₂），不妨设x₁＜

1

2

，x₂＞

1

2

，由（Ⅱ）可得f（x₂）＞h（x₂）=f（1-x₂），利用f（x）（-∞，

1

2

）上是增函数，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：求导函数，f′（x）=（1-2x）e^-2x，令f′（x）=0，解得x=

1

2

由f′（x）＞0，可得x＜

1

2

；由f′（x）＜0，可得x＞

1

2

，
∴函数在（-∞，

1

2

）上是增函数，在（

1

2

，+∞）上是减函数
∴函数在x=

1

2

时取得极大值f（

1

2

）=

1

2e

；
（Ⅱ）证明：由题意，h（x）=f（1-x）=（1-x）e^2x-2，
令F（x）=f（x）-h（x），即F（x）=xe^-2x-（1-x）e^2x-2，
∴F′（x）=（2x-1）（e^4x-2-1）e^-2x，
当x＞

1

2

时，2x-1＞0，∴e^4x-2-1＞0，∵e^-x＞0，∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（

1

2

，+∞）上是增函数
∵F（

1

2

）=0，∴x＞

1

2

时，F（x）＞F（

1

2

）=0
∴当x＞

1

2

时，f（x）＞h（x）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知函数在（-∞，

1

2

）上是增函数，在（

1

2

，+∞）上是减函数，f（x₁）=f（x₂），
∴不妨设x₁＜

1

2

，x₂＞

1

2

，
由（Ⅱ）可得f（x₂）＞h（x₂）=f（1-x₂），
∵f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（1-x₂），
∵x₁＜

1

2

，1-x₂＜

1

2

，f（x）（-∞，

1

2

）上是增函数，
∴x₁＞1-x₂，
∴x₁+x₂＞1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，构造函数，确定函数的单调性是关键．