题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，
3
），N（0，-
3
），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．
（1）求轨迹P的方程；
（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：y=kx+b1与轨迹P相交于A，B两点，若y轴上存在一点Q，使得直线QA，QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；
（3）是否存在不过点E（0，1），且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：x2+（y-1）2=9从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足
.
ED
-
.
EC
=
.
EG
-
.
EF
？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k2的值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件推导出点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4，焦距为2
3
的椭圆，由此能求出轨迹P的方程．
（2）设点Q（0，t），直线l1：y=kx+1，由
y2
4
+x2=1
y=k1x+1
，得（k 12+4）x2+2k1x-3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、斜率公式能求出点Q的坐标．
（3）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=kx+b，且k≠0，设线段DF的中点为H，由
y=kx+b
y2+4x2=4
，得（k2+4）x2+2kbx+b2-4=0，利用根的判别式、韦达定理、向量、构造法垂径定理等知识占能求出△OCG的面积S取得最小值时k2的值．
解答： 解：（1）∵|PM|+|PN|=4＞2
3
，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点，
长轴长为4，焦距为2
3
的椭圆，
即a=2，c=
3
，∴b2=a2-c2=1，
∴轨迹P的方程为
y2
4
+x2=1．
（2）设点Q（0，t），
∵过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：y=kx+b1与轨迹P相交于A，B两点，
∴b1=1，∴直线l1：y=k1x+1，
由
y2
4
+x2=1
y=k1x+1
，消去y，得（k 12+4）x2+2k1x-3=0，
设A（x1，y1），B（
x
 
2
，y2），
则
△=4k12+12(k12+4)＞0
x1+x2=
-2k1
k12+4
x1x2=
-3
k12+4
，
∴A（x1，k1x1+1），B（x2，k1x2+1），
∴kAQ=
k1x1+1-t
x1
，kBQ=
k1x2+1-t
x2
，
∵直线QA，QB关于y轴对称，∴kAQ+kBQ=
k1x1+1-t
x1
+
k1x2+1-t
x2
=0，
∴2k1x1x2+（1-t）（x1+x2）=0，
∴2k1（-3）+（1-t）（-2k1）=2k1t-8k1=2（t-4）k1=0，
解得t=4，∴Q点坐标（0，4）．
（3）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=kx+b，且k≠0，
设线段DF的中点为H，
∵
ED
-
EC
=
EG
-
EF
，
∴
ED
+
EF
=
EC
+
EG
=2
EH
，
由
y=kx+b
y2+4x2=4
，消去y，得（k2+4）x2+2kbx+b2-4=0，
设D（x3，y3），F（x4，y4），
则
△=16(k2-b2+4)＞0
x3+x4=
-2kb
k2+4
x3x4=
b2-4
k2+4
，
∴H（
-kb
k2+4
，
4b
k2+4
），
由kEH=
4b
k2+4
-1
-kb
k2+4
-0
=-
1
k
，解得k2+4=3b，∴H（
-k
3
，
4
3
），
代入判别式，得0＜k2＜5，
∴存在这样的直线l符合题意，
|EH|=
(
-k
3
-0)2+(
4
3
-1)2
=
1
9
+
k2
9
，
由垂径定理，得|CG|=2
9-|EH|2
=
2
3
80-k2
，
坐标原点O到直线l的距离d=
|b|
k2+1
=
k2+4
3
k2+1
，
∴S=
1
2
|CG|•d=
1
2
×
2
3
80-k2
×
k2+4
3
k2+1

=
1
9
(k2+4)
80-k2
k2+1
，
∴S2=
1
81
(k2+4)2•
80-k2
k2+1
，
令k2+1=r，r∈（1，6），
构造函数F(r)=
1
81
(r+3)2
(81-r)
r
，r∈（1，6），
F′(r)=
1
81
(r+3)
(-2r2+81r-243)
r2
，r∈（1，6），
令G（r）=-2r2+81r-243，r∈（1，6），
G（r）=-2r+81r-243=0，
∴r1=
81-9
57
4
，或r2=
81+9
57
4
（舍）
又∵7＜
57
＜8，∴
9
4
＜r1=
81-9
57
4
＜
9
2
，
又当r∈（r1，6）时，G（r）＞0，
∴F′（r）＞0，∴F（r）在（r1 ，6）上单调递增，
∴当k2+1=
81-9
57
4
，即k2=
77-9
57
4
时，
△OCG的面积S取得最小值．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，考查三角形面积取最小值时参数值的求法，综合性质强，难度大，解题时要认真审题，避免出现运算上的错误．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），且F2到直线x-
3
y-9=0的距离等于椭圆的短轴长．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P的圆心为P（0，t）（t＞0），且经过F1、F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为
3
2
2
时，求t的值．
已知函数f（x）=xe-2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=
1
2
对称．求证：当x＞
1
2
时，f（x）＞h（x）．
（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞1．
已知双曲线E：
x2
a2
-
y2
4
=1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为
3
5
5
，点P是直线x=
a2
3
上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足
PF2
•
QF2
=0．
（1）求实数a的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
，证明点H恒在一条定直线上．
函数f（x）=sinx．
（Ⅰ）令f1(x)=f′(x)，fn+1(x)=
f
′
n
(x)，(n∈N*)，求f2014（x）的解析式； 
（Ⅱ）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：f(
π
2n+1
)+f(
2π
2n+1
)+…+f(
(n+1)π
2n+1
)≥
3
2
(n+1)
4(2n+1)
．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为2，且点（
2
，
6
2
）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A，B分别是椭圆C的左右顶点，直线经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，直线AP交于点M，设直线OM，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．
已知∠BAC在平面α内，PA是α的斜线，若∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，PA=a，则点P到α的距离是
 
．
给出下列五个命题：
①若
AB
=
DC
，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②已知非零向量
AB
与
AC
满足（
AB
|
AB
|
+
AC
|AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|AC|
=
1
2
，则△ABC为等边三角形；
③已知向量
a
=(-2，1)，
b
=(-3，0)，则
a
在
b
方向上的投影为2；
④y=sin|x|的周期为π；
⑤若向量
m
∥
n
，
n
∥
k
，则向量
m
∥
k
．
其中不正确的命题是
 
．
已知复数z=
2
1-i
，给出下列四个结论：①|z|=2；②z2=2i；③z的共轭复数是
.
z
=-1+i；④z的虚部为i．其中正确结论的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3

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