Question

已知数列{a_n}，前n项和为S_n，若a_n+1＞a_n＞0，且满足S_n=

1

2

（a_n²+n-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=

an

an+1

+

an+1

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设c_n=2ⁿ（

an+1

n

-λ），若数列{c_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用递推关系式，求出a_n-a_n-1=1（n≥2）然后对n=1进行验证，最后确定等差数列的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）式的结果，整理出bn=

an

an+1

+

an+1

an

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，最后利用裂项相消法求出前n项的和．
（Ⅲ）结合（Ⅰ）式的结果，利用递减数列的性质，求出λ＞

n2+n-2

n2+n

，进一步利用恒成立求出参数的范围．

解答： 解：（Ⅰ）已知数列{a_n}满足S_n=

1

2

（a_n²+n-1）．
所以：2Sn=an2+n-1①
利用递推关系：2Sn-1=an-12+n （n≥2）②
①-②得：2an=an2-an-12+1
(an-1)2-an-12=0
a_n+1＞a_n＞0
所以：a_n-a_n-1=1（n≥2）
当n=1时：S1=

1

2

a12
解得：a₁=2
所以：a_n=n+1③
当n=1时，a₁=2适合③
故：a_n=n+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a_n+1=n+2
已知：bn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+（

1

2

-

1

3

）+2+（

1

3

-

1

4

）+…+2+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=2n+

1

2

-

1

n+2

（Ⅲ）设cn=2n(

an+1

n

-λ)，数列{c_n}是单调递减数列
所以：c_n＞c_n+1
2n(

n+2

n

-λ)＞2n+1(

n+3

n+1

-λ)
解得：λ＞

n2+n-2

n2+n

所以：λ＞(

n2+n-2

n2+n

)max
当n→+∞时，(

n2+n-2

n2+n

)max≈1
所以：λ＞1

点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，等差数列的通项公式的应用，裂项相消法的应用，利用递减数列求参数的范围．