Question

设函数f（x）=sinx•cosx-

3

cos（π+x）•cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=f（x）的图象向右、向上分别平移

π

4

、

3

2

个单位长度得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，

π

4

]的值域．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式即可得出；
（2）利用三角函数变换可得y=g（x）=sin(2(x-

π

4

)+

π

3

)+

3

2

+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+

3

，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=sinx•cosx-

3

cos（π+x）•cosx=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
∴T=

2π

2

=π．
（2）函数y=f（x）的图象向右、向上分别平移

π

4

、

3

2

个单位长度得到y=g（x）=sin(2(x-

π

4

)+

π

3

)+

3

2

+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+

3

．
∵x∈（0，

π

4

]，∴(2x-

π

6

)∈(-

π

6

，

π

3

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈(-

1

2

，

3

2

]，
∴g（x）∈(

3

-

1

2

，

3 3

2

]．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式、三角函数变换、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．