Question

已知函数f（x）=ax³-x
（1）当a=1时，求f（x）的极值并写出极值点．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，求a取值范围．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=x³-x，知f′（x）=3x²-1，由f′（x）=0，得x₁=-

3

3

，x₂=

3

3

．进而能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）由函数在R上是减函数，得到导函数恒小于0，导函数为开口向下且与x轴最多有一个交点时，导函数值恒小于0，即a小于0，根的判别式小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，由f（x）=x³-x，知f′（x）=3x²-1，
由f′（x）=0，得x₁=-

3

3

，x₂=

3

3

．
令f′（x）＞0，解得x＜-

3

3

或x＞

3

3

；
令f′（x）＜0，解得-

3

3

＜x＜

3

3

；
当x=-

3

3

时，f（x）取得极大值f（-

3

3

）=

2 3

9

，
当x=

3

3

时，f（x）取得极小值f（

3

3

）=-

2 3

9

．
（2）由f（x）=ax³-x，得到f′（x）=3ax²-1，
因为函数在R上是减函数，所以f′（x）=3ax²-1＜0恒成立，
所以

a＜0 △≤0

，由△=4a≤0，解得a≤0，
则a的取值范围是（-∞，0]．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间，灵活运用二次函数的思想解决实际问题，是一道中档题．