Question

在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，且α∈（0，π），求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=

1

3

，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）求得

AC

 和

BC

的坐标，再根据 |

AC

|=|

BC

|以及α∈（0，π），求得tanα 的值可得α 的值．
（2）由

AC

•

BC

=

1

3

，求得 sinα+cosα=

1

3

，平方可得2sinαcosα=-

8

9

，再根据

2sin2α+sin2α

1+tanα

=2sinαcosα，求得结果．

解答： 解：（1）由题意可得

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2），
∵|

AC

|=|

BC

|，∴（cosα-2）²+sin²α=cos²α+（sinα-2）²，且α∈（0，π）．
整理可得tanα=1，α=

π

4

．
（2）若

AC

•

BC

=

1

3

，则 （cosα-2）cosα+sinα（sinα-2）=

1

3

，
化简得 sinα+cosα=

1

3

，平方可得 1+2sinαcosα=

1

9

，2sinαcosα=-

8

9

，
∴

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2sinαcosα=-

8

9

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．