Question

已知曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数），直线C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t为参数），在曲线C₁求一点，使它到直线C₂的距离最小，并求出该点的直角坐标和最小距离．

Answer 1

考点：圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：首先，将给定的曲线化为相应的普通方程，然后，判断直线与圆的位置关系，最后，确定最小值及取得最小值时点的坐标．

解答： 解：由曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数），
得 （x-1）²+y²=1，
直线C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t为参数），
得x+y+2

2

-1=0．
∵圆心（1，0）到直线的距离d=

|1+0+2 2 -1|

12+12

=2＞r=1，
∴直线与圆相离，
故最大值为d+r=2+1=3，
最小值为d-r=2-1=1，
此时，当取得最小值时，直线方程为：x-y-1=0，
联立

x-y-1=0 (x-1)2+y2=1

，
解得

x=1+ 2 2 y= 2 2

或

x=1- 2 2 y=- 2 2

，
结合题意，得取（1-

2

2

，-

2

2

）时，取得最小值1．

点评：本题重点考查了直线的参数方程和圆的参数方程、直线与圆的位置关系、最值问题的处理思路和方法等知识，属于中档题．