Question

已知集合M={x|ax²-2（a+1）x-1＞0}，M≠∅，M⊆{x|x＞0}，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：根据题意，讨论a=0时，a＞0时，a＜0时，集合M的情况，求出满足题意的集合M对应的a的取值范围．

解答： 解：∵M={x|ax²-2（a+1）x-1＞0}，
且M≠∅，M⊆{x|x＞0}，
∴当a=0时，M={x|-2x-1＞0}={x|x＜-

1

2

}，不满足题意，舍去；
当a＞0时，若方程ax²-2（a+1）x-1=0有两实数根x₁、x₂（不妨设x₁＞x₂），则M={x|x＞x₁，或x＜x₂}，
若方程无实数根，则M=R，都不满足题意，舍去；
当a＜0时，∵4（a+1）²-4a•（-1）＞0，
即4a²+12a+4＞0，
解得a＞

-3+ 5

2

，或a＜

-3- 5

2

①；
此时M={x|ax²-2（a+1）x-1＞0}={x|

(a+1)- a2+3a+1

a

＜x＜

(a+1)+ a2+3a+1

a

}，
令

(a+1)- a2+3a+1

a

＞0，
即

a＜0 (a+1)- a2+3a+1 ＜0

；
解得a＜-1②；
综合①②得，a＜

-3- 5

2

；
∴a的取值范围是{a|a＜

-3- 5

2

}．
故答案为：{a|a＜

-3- 5

2

}．

点评：本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了含有字母系数的不等式的解法问题，是较难的题目．