Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，当n≥2时，2S_n=（n+1）a_n-2．
（Ⅰ）求a₂，a₃和通项a_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=a_n•2^n-1，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）a₁=1，当n≥2时，2S_n=（n+1）a_n-2．可得2（1+a₂）=3a₂-2，解得a₂，a₃．当n≥3时，2a_n=2（S_n-S_n-1），化为：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．即可得出．
（Ⅱ）由（I）可知，b_n=a_n•2^n-1，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{n•{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．即可得出．

解答 解：（I）a₁=1，当n≥2时，2S_n=（n+1）a_n-2．∴2（1+a₂）=3a₂-2，解得a₂=4．
同理可得：a₃=6．当n≥3时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）a_n-2-（na_n-1-2），化为：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∵$\frac{{a}_{3}}{3}=\frac{{a}_{2}}{2}$=2，a₁=1，∴$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=2．
∴n≥2时，a_n=2n．故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n，n≥2}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（I）可知，b_n=a_n•2^n-1，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{n•{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．
所以当n=1时，T_n=b₁=1．
当n≥2时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
则2T_n=2+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
作差得：-T_n=1+2+（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=1+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*．（n=1时也成立）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．