Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则(a+

1

a

)(b+

1

b

)的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．

解答： 解：由已知1=a+b≥2

ab

，
∴0＜ab≤

1

4

．
∴

(a+ 1 a )(b+ 1 b )= a2b2+a2+b2+1 ab = a2b2+(a+b)2-2ab+1 ab =ab+ 1 ab -2

由于f（t）=t+

1

t

-2在(0，

1

4

]上单调递减，
∴当且仅当ab=

1

4

时，取最小值

25

4

．
故答案为：

25

4

．

点评：本题考查了基本不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．