Question

3．如图，三棱柱ABCA₁B₁C₁中，侧棱AA₁垂直底面A₁B₁C₁，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）

• A． CC₁与B₁E是异面直线
• B． AE与B₁C₁是异面直线，且AE⊥B₁C₁
• C． AC⊥平面ABB₁A₁
• D． A₁C₁∥平面AB₁E

Answer 1

分析 在A中，CC₁与B₁E在同一个侧面中；
在B中，AE，B₁C₁为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中点，故AE与B₁C₁是异面直线，且AE⊥B₁C₁；
在C中，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB₁A₁；
在D中，A₁C₁所在的平面与平面AB₁E相交，且A₁C₁与交线有公共点．

解答 解：由三棱柱ABCA₁B₁C₁中，侧棱AA₁垂直底面A₁B₁C₁，
底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中点，知：
在A中，因为CC₁与B₁E在同一个侧面中，故CC₁与B₁E不是异面直线，故A错误；
在B中，因为AE，B₁C₁为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，
又底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中点，故AE⊥B₁C₁，故B正确；
在C中，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB₁A₁，故C错误；
在D中，因为A₁C₁所在的平面与平面AB₁E相交，且A₁C₁与交线有公共点，故A₁C₁∥平面AB₁E不正确，故D错误．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．