Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）当PA=

2

时，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由已知条件推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而得到AB⊥平面PAC，进而得到CD⊥平面PAC，由此能证明平面AEB⊥平面PCD．
（II）证明PC⊥平面ABE，可得∠CBE是直线BC与平面ABE所成的角，即可求出直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

解答： （I）证明：∵AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，
∴AB⊥AC…（2分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AC∩AP=A
∴AB⊥平面PAC，又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE…（4分）
又∵AE⊥PC，又∵PC∩CD=C
∴AE⊥平面PCD…（7分）
（II）解：∵AD∥BC，∴即求直线BC与平面ABE所成的角  …（9分）
∵AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC
又∵AB⊥AC，且PC在平面ABC上的射影是AC，
∴AB⊥PC，
∴PC⊥平面ABE，
∴∠CBE是直线BC与平面ABE所成的角．…（11分）
∵Rt△PAC中，CE=

3

3

，
∴Rt△CBE中，sin∠CBE=

CE

CB

=

3 3

2

=

6

6

即直线AD与平面ABE所成角的正弦值为

6

6

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．