题目内容
四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E-AF-C的正切值．
考点：平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）设菱形ABCD的边长为2a，由勾股定理推导出AE⊥BC，AE⊥AD．由线面垂直得到PA⊥AE，由此能证明面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，则∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．由此能求出二面角E-AF-C的正切值．
（Ⅱ）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，则∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．由此能求出二面角E-AF-C的正切值．
解答：
（Ⅰ）证明：设菱形ABCD的边长为2a，
则AE2=（2a）2+a2-2a•2acos60°=3a2，AE=
a，
BE2+AE2=AB2，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE，AE⊥面PAD，
∴面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）解：过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，
∴∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．
过点A作AH⊥PD，连接EH，
∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角．
∵∠AHE=45°，∴AH=AE=
a，
∵AH•PD=PA•AD，∴2a•PA=
a•
，PA=2
a，PC=4a，
EQ=
a，CQ=
a，GQ=
a，
∴tan∠EGQ=
=
．
则AE2=（2a）2+a2-2a•2acos60°=3a2，AE=
| 3 |
BE2+AE2=AB2，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE，AE⊥面PAD，
∴面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）解：过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，
∴∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．
过点A作AH⊥PD，连接EH，
∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角．
∵∠AHE=45°，∴AH=AE=
| 3 |
∵AH•PD=PA•AD，∴2a•PA=
| 3 |
| PA2+(2a)2 |
| 3 |
EQ=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
∴tan∠EGQ=
| EQ |
| GQ |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查面面垂直的证明，考查二面角正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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